1.
Seorang pedagang asongan menjual minuman kotak A
dan minuman kotak B. Minuman kotak A dibeli dari agen seharga Rp600,00 dan di
jualnya Rp750,00 per kotak, sedangkan minuman kotak B dibeli seharga Rp300,00
dan dijualnya Rp400,00 per kotak. Pedagang tersebut memiliki uang Rp60.000,00 dan ia bermaksud untuk membeli
kedua jenis minuman kotak tersebut. Akan tetapi, karena keterbatasan, ia tidak
mau membeli lebih dari 150 kotak untuk jumlah kedua jenis minuman kotak
tersebut.
a)
Tentukan sistem pertidaksamaan linear dan fungsi
objektifnya.
b)
Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dan
tentukan titik-titik sudut himpunan penyelesaiannya.
c)
Dengan menggunakan uji titik pojok, tentukan
nilai fungsi objektif untuk setiap titik pojok.
d)
Berapa keuntungan maksimum yang di peroleh dari
kedua minuman kotak tersebut dan berapa kotak minuman A dan minuman B yang
harus dibelinya agar mendapat keuntungan maksimum?
Pembahasan
(a)
Menentukan variabel
X=minuman kotak A
Y=minuman kotak B
(b)
Sistem pertidaksamaan
600x + 300y ≤ 60.000
x + y ≤
150
x ≥
0
y ≥
0
(c)
Fungsi objektif
Rp 750,00x + Rp 400,00y
(d)
Menentukan titik pojok
·
600x + 300y = 60.000
X=0, Y=200
Y=0, X=100
·
X + Y = 150
X=0 , Y=150
Y=0 , X=150
·
X=0
·
Y=0
(e)
Mencari titik B :
600x + 300y =
60.000
x
1
600x + 300y =
60000
X + y
= 150
x
300
300x + 300y = 45000
300x = 15000
x = 50
X + Y = 150
50 + Y = 150
Y= 100
(f)
Mensubstitusikan titik pojok ke fungsi objektif
·
{100, 0} = Rp 750,00 x + Rp 400,00 y
= Rp 750,00 (400) +
Rp 400,00 (0)
= Rp 75.000,00
2.
{50, 100} = Rp 750,00 x + Rp 400,00 y
= Rp 750,00 (50) + Rp 400,00
(100)
= Rp 37.500,00 + Rp 40.000,00
= Rp 77.000,00
3.
{0,150} = Rp 750,00 x + Rp 400,00 y
= Rp 750,00 (0) + Rp 400,00 (150)
= Rp 60.000,00
(g)
Mencari keuntungan maksimum
·
Jumlah minuman kotak A yang dibeli 50 kotak
·
Jumlah minuman kotak B yang dibeli 100 kotak
i.
50 x Rp 600,00 =
Rp 30.000,00
ii.
100 x Rp 300,00 =
Rp 30.000,00 +
= Rp
60.000,00
·
Maka keuntungan maksimumnya,
= harga jual – harga beli
= Rp 77.500,00 – Rp 60.000,00
= Rp 17.500,00
Kotak minuman A dan kotak minuman
B yang harus dibeli agar mendapat keuntungan yang maksimum ialah 50 kotak
minuman A dan 100 kotak minuman B.
2.
Suatu perusahaan roti mempunyai dua pabrik,
yaitu pabrik A dan pabrik B, pabrik A setiap hari menghasilkan 2 kg roti
berkualitas tinggi, 6 kg kualitas sedang, dan 10kg berkualitas rendah. Pabrik B
menghasilkan untuk ketiga kualitas masing-masing 4kg roti. Pabrik tersebut
menerima pesanan untuk membuat roti berkualitas tinggi, sedang, rendah,
berturut-turut 160kg, 320kg, dan 400kg. Jika biaya yang dikeluarkan setiap hari
untuk pabrik A dan pabrik B masing-masing Rp 40.000,00 dan agar kebutuhan
tercukupi dengan biaya seminimal mungkin, tentukan lamanya pabrik A dan pabrik
B beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut serta tentukan biaya minimal
tersebut!
Pembahasan
a)
Menentukan variabel
X = pabrik A
Y = pabrik B
b)
Sistem pertidaksamaannya
2x + 4y ≥ 160
6x + 4y ≥ 320
10x + 4y ≥ 400
X
≥ 0 , y ≥ 0
c)
Fungsi objektif
Rp
40.000,00x + Rp 40.000,00y
d)
Mencari titik sudut
·
2x + 4y = 160
x=
0 , y= 40
y= 0 , x= 80
·
6x + 4y = 320
x=0 , y= 80
y=0 , x= 53,3
·
10x + 4y = 400
x=0 , y= 100
y=0 , x= 40
·
X=0
·
Y=0
e)
Mencari titik B
6x + 4y = 320
2x + 4y
= 160
4x = 160
X = 40
2x + 4y = 160
2.40 + 4y= 160
4y = 80
Y = 20
f)
Mencari titik C
6x + 4y = 320
10x + 4y = 400
-4x =
-80
X =
20
10x + 4y = 400
10.20 + 4y = 200
200 + 4y = 200
4y = 200
Y = 50
g)
Mensubstitusikan titik pojok ke fungsi objektif
·
{80,0} =
Rp 40.000x + Rp 40.000y
= Rp 40.000(80) + Rp 40.000(0)
= Rp 3.200.000
·
{ 40,20} =
Rp 40.000x + Rp 40.000y
= Rp 40.000(40) + Rp 40.000(20)
= Rp 1.600.000 + Rp 800.000
= Rp 2.400.000
·
{20,50} =
Rp 40.000x + Rp 40.000y
= Rp 40.000(20) + Rp 40.000(50)
= Rp 800.000 + Rp 2.000.000
= Rp 2.800.000
·
{0,100} =
Rp 40.000x + Rp 40.000y
= Rp 40.000(0) + Rp 40.000(100)
= Rp 4000.000
Lamanya pabrik A dan pabrik B
beroperasi dalam memenuhi pesanan ialah dalam membuat 40 roti untuk pabrik A,
dan 20 roti untuk pabrik B dengan biaya Rp 2.400.000