tugas matematika

1.       Seorang pedagang asongan menjual minuman kotak A dan minuman kotak B. Minuman kotak A dibeli dari agen seharga Rp600,00 dan di jualnya Rp750,00 per kotak, sedangkan minuman kotak B dibeli seharga Rp300,00 dan dijualnya Rp400,00 per kotak. Pedagang tersebut memiliki uang  Rp60.000,00 dan ia bermaksud untuk membeli kedua jenis minuman kotak tersebut. Akan tetapi, karena keterbatasan, ia tidak mau membeli lebih dari 150 kotak untuk jumlah kedua jenis minuman kotak tersebut.

a)      Tentukan sistem pertidaksamaan linear dan fungsi objektifnya.

b)      Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dan tentukan titik-titik sudut himpunan penyelesaiannya.

c)       Dengan menggunakan uji titik pojok, tentukan nilai fungsi objektif untuk setiap titik pojok.

d)      Berapa keuntungan maksimum yang di peroleh dari kedua minuman kotak tersebut dan berapa kotak minuman A dan minuman B yang harus dibelinya agar mendapat keuntungan maksimum?

Pembahasan

(a)    Menentukan variabel

X=minuman kotak A

Y=minuman kotak B

(b)   Sistem pertidaksamaan

600x + 300y ≤ 60.000

x + y              ≤ 150

x ≥ 0

y ≥ 0

(c)    Fungsi objektif

Rp 750,00x + Rp 400,00y

(d)   Menentukan titik pojok

·         600x + 300y = 60.000

X=0, Y=200

Y=0, X=100

·         X + Y = 150

X=0 , Y=150

Y=0 , X=150

·         X=0

·         Y=0

(e)   Mencari titik B :

600x + 300y = 60.000       x              1  600x + 300y = 60000

       X + y       = 150              x        300  300x + 300y = 45000

                                                                                   300x = 15000

                                                                                         x = 50

X + Y = 150

50 + Y = 150

       Y= 100

(f)     Mensubstitusikan titik pojok ke fungsi objektif

·         {100, 0}           = Rp 750,00 x + Rp 400,00 y

                  = Rp 750,00 (400) + Rp 400,00 (0)

                  = Rp 75.000,00

2.       {50, 100}         = Rp 750,00 x + Rp 400,00 y

  = Rp 750,00 (50) + Rp 400,00 (100)

  = Rp 37.500,00 + Rp 40.000,00

  = Rp 77.000,00

3.       {0,150}            = Rp 750,00 x + Rp 400,00 y

  = Rp 750,00 (0) + Rp 400,00 (150)

  = Rp 60.000,00

(g)    Mencari keuntungan maksimum

·         Jumlah minuman kotak A yang dibeli 50 kotak

·         Jumlah minuman kotak B yang dibeli 100 kotak

i.         50 x Rp 600,00            = Rp 30.000,00

ii.       100 x Rp 300,00         = Rp 30.000,00 +

= Rp 60.000,00

·         Maka keuntungan maksimumnya,

= harga jual – harga beli

= Rp 77.500,00 – Rp 60.000,00

= Rp 17.500,00

Kotak minuman A dan kotak minuman B yang harus dibeli agar mendapat keuntungan yang maksimum ialah 50 kotak minuman A dan 100 kotak minuman B.

2.       Suatu perusahaan roti mempunyai dua pabrik, yaitu pabrik A dan pabrik B, pabrik A setiap hari menghasilkan 2 kg roti berkualitas tinggi, 6 kg kualitas sedang, dan 10kg berkualitas rendah. Pabrik B menghasilkan untuk ketiga kualitas masing-masing 4kg roti. Pabrik tersebut menerima pesanan untuk membuat roti berkualitas tinggi, sedang, rendah, berturut-turut 160kg, 320kg, dan 400kg. Jika biaya yang dikeluarkan setiap hari untuk pabrik A dan pabrik B masing-masing Rp 40.000,00 dan agar kebutuhan tercukupi dengan biaya seminimal mungkin, tentukan lamanya pabrik A dan pabrik B beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut serta tentukan biaya minimal tersebut!

Pembahasan

a)      Menentukan variabel

X = pabrik A

Y = pabrik B

b)      Sistem pertidaksamaannya

2x + 4y ≥ 160

6x + 4y ≥ 320

10x + 4y ≥ 400

X ≥ 0 , y ≥ 0

c)       Fungsi objektif

Rp 40.000,00x + Rp 40.000,00y

d)      Mencari titik sudut

·   2x + 4y = 160

x= 0 , y= 40

y= 0 , x= 80

·   6x + 4y = 320

x=0 , y= 80

y=0 , x= 53,3

·   10x + 4y = 400

x=0 , y= 100

y=0 , x= 40

·   X=0

·   Y=0

e)      Mencari titik B

6x + 4y  = 320

2x + 4y  = 160

4x           = 160

X             = 40

                                                                2x + 4y = 160

                                                                2.40 + 4y= 160

                                                                4y           = 80

                                                                Y              = 20

f)       Mencari titik C

6x + 4y  = 320

10x + 4y = 400

-4x          = -80

X             = 20

10x + 4y = 400

10.20 + 4y = 200

200 + 4y = 200

4y             = 200

Y                = 50

g)      Mensubstitusikan titik pojok ke fungsi objektif

·         {80,0}        = Rp 40.000x + Rp 40.000y

= Rp 40.000(80) + Rp 40.000(0)

= Rp 3.200.000

·         { 40,20}     = Rp 40.000x + Rp 40.000y

= Rp 40.000(40) + Rp 40.000(20)

= Rp 1.600.000 + Rp 800.000

= Rp 2.400.000

·         {20,50}      = Rp 40.000x + Rp 40.000y

= Rp 40.000(20) + Rp 40.000(50)

= Rp 800.000 + Rp 2.000.000

= Rp 2.800.000

·         {0,100}      = Rp 40.000x + Rp 40.000y

= Rp 40.000(0) + Rp 40.000(100)

= Rp 4000.000

Lamanya pabrik A dan pabrik B beroperasi dalam memenuhi pesanan ialah dalam membuat 40 roti untuk pabrik A, dan 20 roti untuk pabrik B dengan biaya Rp 2.400.000